0453 沈卫国: 微积分极限法求导中的逻辑问题辨

Zmn-0453 沈卫国: 微积分极限法求导中的逻辑问题辨析以及一个形象的比喻

【编者按。下面是沈卫国先生的文章。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

微积分极限法求导中的

逻辑问题辨析以及一个形象的比喻

 沈卫国

 

摘要:对微积分极限法求导中的逻辑问题,在前期系列论文的基础上,进行了进一步的辨析。特别针对求导中的必要步骤约分或除法消去分母上的自变量这关键点,进行了简略但充分的讨论。为了便于理解,还给出了比喻。极限法求导,与其说是解决了牛顿、莱布尼兹第一代微积分求导中的贝克莱悖论问题,还不如说是掩盖了它。极限法微积分求导,是完全违反推理逻辑规则的,不能成立。笔者前期给出的导数、瞬时速度的新定义及基于这个定义的求导方法,并不依赖于极限法求导的成立与否。但如果极限法求导一旦是矛盾的,则笔者的方案就是唯一的。

关键词:极限法求导;微积分;导数;极限;不可达极限;矛盾;贝克莱悖论;第一代微积分;第二代微积分;比喻

 

1、在某定义域内可以看成为相同的两个函数,不但在定义域外可以函数值不同,不可达极限也应该可以不同

极限法微积分求导(第二代微积分,标准分析)——当然,也包括牛顿、莱布尼兹的第一代微积分求导——其必要步骤,都是要在约分(或除法)消去分母上的自变量之后。牛顿、莱布尼兹法(第一代微积分),由于是直接针对函数值的,因此会产生著名的贝克莱悖论。为了解决这个问题,柯西等提出极限法,认为求出的导数其实是极限值,而不是函数值。具体求法是:由于在自变量△x=0时,函数值是0/0,无意义,因此认为函数的定义域不包括

△x=0点。因此,由于自变量不再可以等于0,除法或约分消去分母就可以进行,换言之,在排除了定义域外的△x=0点后,原先分母上有自变量△x的函数与已经消去分母的函数没有区别了,就可以视为是同一个函数。比如,以最简单的二次函数为例,在△x≠0时,(2x+△x)△x/△x与(2x+△x)可以认为是同一个函数。也就是,在定义域内,这两个函数的函数值一致,可达极限值当然也一致。但在定义域外的△x=0点,或如果把定义域扩展到

△x=0点,这两个函数值在该点是不一样的:(2x+△x)的函数值是2x,而(2x+△x)△x/△x的函数值是0/0,也就是没有有意义的函数值。同样,由于函数值与其可达极限值是一致的,因此,在△x=0点二者的可达极限分别是2x与0/0,总之是不一样的。那么,既然在定义域内(△x≠0时)数值相同的两个函数,在定义域外(△x=0点)或扩展后的定义域

(△x=0点)可以有不同的函数值,那么,究竟凭什么非说它们在定义域外(△x=0点)或扩展后的定义域(△x=0点)就非得有相同的不可达极限值?而且这个不可达极限值还非得是有意义的2x,而不会是无意义的0/0?毕竟,(2x+△x)△x/△x在△x=0点的函数值不是0/0吗?尽管它是无意义的不定式也罢。换言之,即使△x≠0,凭什么分母上原本有自变量的函数比如(2x+△x)△x/△x,就非得约分把分母消去,得到(2x+△x)后再去求△x=0点的极限值?难道(2x+△x)△x/△x在△x=0点可以有无意义的函数值0/0,就非得有有意义的不可达极限值2x吗?它的极限值就不会是同样无意义的0/0,与其在该点的函数值一致?

2、一个形象的比喻或通俗的例子

   这里有一个形象的比喻:有两辆车,在陆地上行驶状态是一样的,都好好地行驶着。但在河上,一辆驶上了桥,一辆掉到了河里。在陆地上,两辆车都是安全的,状态一致,可以认为“函数值”一样。但在河上,在桥上的那辆,仍旧安全(可类比于有意义的函数值,比如2x),而另一辆掉到河里的,毁掉了,当然再没有安全可言(可类比于没有有意义的函数值,比如函数值为0/0)。对在河上的可达目标(可达极限)而言,与函数值一样,一个为有意义的2x,一个为无意义的0/0。但对河上的不可达目标(不可达极限),难道就因为那辆掉到河里的车,仅仅由于在陆地上其状态与后来驶上桥的那辆的状态一样,都是安全的,就认为在河上,它的不可达目标(不可达极限)就必须与后来驶上桥的那辆也一样,也是安全的?凭什么其不可达目标(指永远到达不了但可以无限接近的目标,即不可达极限)就不能与其函数值或可达目标(可达极限值)一样,也是以掉到河里为目标(极限)?这没有任何道理。

 

发表评论